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2021年春季学期-信号与系统-第八次作业参考答案-第十小题


本文是 2021年春季学期-信号与系统-第八次作业参考答案 中的小题求解答案。

 

▌第十小题 ▌


10. 已知 f ( t ) f\left( t \right) f(t) F ( ω ) F\left( \omega \right) F(ω) 是一对傅里叶变换, F ( ω ) F\left( \omega \right) F(ω) 为频带有限信号, ∣ ω ∣ ≤ ω m \left| \omega \right| \le \omega _m ωωm 。用周期矩形脉冲 p ( t ) p\left( t \right) p(t) 把 进行平顶采样得到 f s ( t ) f_s \left( t \right) fs(t) ,如下图所示:

采样周期为: T s T_s Ts

(1)证明 f ( t ) f\left( t \right) f(t)的傅里叶变换为: F s ( ω ) = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) ⋅ P ( ω ) F_s \left( \omega \right) = {1 \over {T_s }}\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {F\left( {\omega - n\omega _s } \right) \cdot P\left( \omega \right)} Fs(ω)=Ts1n=F(ωnωs)P(ω)其中: P ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ p ( t ) ⋅ e − j ω t d t P\left( \omega \right) = \int_{ - \infty }^\infty {p\left( t \right) \cdot e^{ - j\omega t} dt} P(ω)=p(t)ejωtdt(2)说明平顶采样频谱与自然采样频谱的异同;

(3)给出从 f s ( t ) f_s \left( t \right) fs(t)无失真恢复 f ( t ) f\left( t \right) f(t)所需满足的条件。

▓ 求解:

(1)证明如下:

(2) 对比自然采样的信号频谱:

(3) 无失真回复信号的条件是采样频率大于信号的 Nyquist频率。

ω s ≥ 2 ω m \omega _s \ge 2\omega _m ωs2ωm

 

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